我常喜歡用交易比做人生，交易有賺有賠，人生也是起起伏伏，彷彿山勢高低連綿不絕。而人生曲線就像累計損益一樣，我們最期待的就是天天創新高，最害怕的便是創新高後的回檔，俗稱draw down (DD)。
如果人生像銅板賭局 (固定勝率(win rate)、固定賠率(odds)) 那麼簡單，那是多美好的一件事。但就算簡單如銅版賭局，只怕我們還是抓不住看不透，更何況人生肯定比銅板複雜很多。本篇我想敘述的重點：
用銅板看人生，為何人生不如意十常八九? 賭小一點，步步為營方為上策!
考慮勝率50%，賠率為2的銅版賭局，我們都知道凱利法則(Kelly criterion)給了最佳解，也就是每次下注總資金的25%為最佳下注比例。這25%是如何計算出來的，可參考之前寫過的文章：數學家的賭局，凱利公式推倒證明!。很多人初次看到凱利，都以為這就是交易的聖盃了，畢竟數學上的最佳化不會錯。但別忘了凱利公式推導的兩個假設條件：
1. 假設賭局可重複玩無限多次。(可惜人生交易沒有天長地久)
2. 假設賭金可無限分割。(可惜萬物只有離散沒有連續)
事實上人生是無法天長地久的，任何賭局或策略都會有結束的一天。因此實際的狀況是，某交易策略大約只會執行個20次、30次、或是100次之類就捨棄不用之類的。另一個重點是凱利假設賭金可以無限分割。只要不是全押，在有利可圖又可玩無限多次的情況下，絕對會有起死回生的一天，重點是過程中遭受的回檔你是否撐得住?
我們做個簡單實驗，假設勝率50%賠率為2的賭局，玩30次就好。我們現在有興趣的不是最後賺多少，而是在賭局的過程中，最大回檔的程度。
為什麼考慮這個問題呢? 這非常實際。試想一下我們用最佳下注比例圖的是可以賺最多，但為了賺最多，你可能在過程中也承受相對大的風險。重點是過程中，你是不會知道最後是可以"賺最多"的。因此某種程度來說，賭局的"最佳下注比例"有點所謂的後見之明。當你知道賭局的固定勝率與賠率，你可以放心地用最佳下注比例"無限次"的賭，只要次數夠多，總有一天賺回來。但對一個交易策略來說，過去的勝率不代表未來的勝率，當一個策略已經讓你從高點回檔30%、50%、甚至70%，你還敢用嗎? 你可能早就放棄，你的信心動搖了，根本就不敢想還有東山再起的一天。
那究竟銅版賭局的最佳比例下注，過程中會承受多少風險呢? 這篇文章用的風險指的是最大回檔 (Maximum Draw Down, MDD)。
下圖為勝率50%，賠率為2的賭局，橫軸為連續玩的局數，縱軸為連續玩的過程中，遭遇到的最大回檔(MDD)。由於每次模擬結果都不一樣，故我們模擬10000次用箱型圖(BoxPlot)表示其MDD的分佈。
因為最佳下注比例為25%，也就是只要一次損失，就是賠當下總資金的25% (藍色虛線)。我們可以觀察到，平均玩到10局的過程中，遭遇到最大回檔的期望值有60%，如果繼續玩下去，當玩到30局以後，遭遇到最大回檔可能高達80%。想想有多少人在回檔80%後，還有信心繼續賭下去的?
如果我們賭小一點呢? 一樣勝率50%賠率為2的賭局，但我們每次只下注10%，如下圖所示：
就算玩到50局，過程中遭受的最大回檔也只到40%附近，賭小一點卻實帶來相對的好處。但別忘了，最佳下注比例是期望報酬最大，當玩的次數過多也賺得越多，卻也要承受相對大的回檔。如果下注10%玩到300局，那過程中的期望回檔還是會到達60%。
再來我們來看固定局數下，不同下注比例的最大回擋值，我們搭配著期望報酬去比較。下圖橫軸為下注比例(1% ~ 100%)，左邊縱軸為期望最大回檔，右邊縱軸為報酬。
一樣考慮勝率50%賠率為2的賭局玩30局。最佳下注比例的期望報酬達到5.85倍，但期望最大回檔卻有73.3%(藍虛線)；如果用一半凱利下注(約12%)，期望報酬為3.73倍，期望最大回檔卻只有42.4%(紫虛線)。
以上兩種下注比例你覺得哪個好?? 如果你用最後報酬去看，當然是凱利比例好，因為這是數學上的報酬最佳化。但重點是人性在賭的過程中，遭遇到73%的回檔你是否還願意繼續下，誰又知道在賠了73%後最後會是報酬最高呢? 這就是個考驗了。
另一方面，若用 "報酬/回檔" 看待，一個是 5.85/0.73 = 8.013699；另一個是 3.703/0.424 = 8.733491，以CP值來說，半凱利還稍稍略勝凱利!!
凱利給了銅版賭局的最佳化，但這個最佳是期望報酬的最佳，是在可以玩無限次數，資金可以無限分割下的最佳。為了達到這樣的最佳，你可能也會承受正常人不能承受的回檔風險。人生何嘗不是如此，要到達登峰造極的境界，想必也承受了正常人所不能忍受的責難痛苦。
『天將降大任於斯人也，必先苦其心志，勞其筋骨，餓其體膚，空乏其身，行拂亂其所為：所以動心忍性，增益其所不能』
大概就是這個道理吧!!!
大概就是這個道理吧!!!
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