大家都知道凱利法則(Kelly Criterion)開啟了資訊理論與金融交易的連結，或著說讓賭博方法正式進入學術研究的殿堂，其後大部分的資金管理模式，都可看到凱利法則的影子，包刮最佳化比例(Vince's Optimal F)、槓桿空間模型(Leverage Space Model)...等。但這些...都只是熵理論的一個應用而已。讓我們來看這個一統江湖的熵理論到底如何跟金融交易扯上邊?
什麼是熵 (Entropy)?
熵理論(Entropy)源自熱力學，其後經由Shannon發展成為衡量資訊量的測度。簡單的說，熵代表著"不確定"的程度。
我們拿銅板賭局為例，假設有兩枚銅板A和B，A銅板正面和反面出現的機率一樣，各為50%；B銅板正面出現的機率為70%，反面出現的機率為30%。
請問，哪一枚銅板的不確定性高? 稍微思考一下我想都會答A。也就是說，公平的銅板A，其"不確定性"反而最高。因為公平，你反而無法掌握到底是正面還是反面比較可能出現。
那有沒有衡量不確定性的標準呢? 有的，就是熵 (Entropy)。你可以想成，熵就是一個機率的函數，一個正面機率是p的銅板(反面機率是1-p)，其熵定義為
H = -p*log(p) - (1-p)*log((1-p))
根據銅板A的機率，銅板A的熵為
H(A) = -50%*log(50%) - 50%*log(50%)
H(B) = -70%*log(70%) - 30%*log(30%)
我們考慮所有可能的銅板機率(0%~100%)，其熵的曲線畫於下圖
可以發現，在機率是50%的時候，也就是一個公平的銅板賭局，其熵是最高的，達到entropy = 1。這不意外，因為公正的銅板最難預測。反而越離開50%的機率，entropy開始逐漸遞減，也就越好預測。
這與金融交易有什麼關係? 其實答案已經呼之欲出，投資一定有賺有賠，你很難一路賺，筆筆賺；當然，你也很難一路賠，筆筆賠。想像一下，如果有人股票逢買必賠，你只要跟著他反向操作就可。這的確是事實，一個把把都輸的玩家，其實是個"很穩定"的玩家，因為"穩定的輸錢"。換句話說，其實把把都輸的玩家是非常神準的，其entropy很低，不確定性很低，穩定性很高。
我在好多場的演講都提到這件事: 一個策略獲利多寡不一定是最重要，"穩定性"才是最重要。好的策略穩定性高，你可以放大部位。穩定性的相反，就是不確定性。不確定性高的策略，你的投資部位要小一點。現在你覺得熵(entropy)跟交易有沒有關係? 關係大了，下面我們再回頭看凱利法則!
原來凱利法則也來自於熵!
我們再回憶一下當初的凱利理論的推導：假設一個勝率50%，賠率為2的銅板賭局。每次下注為總資金的f比例，則第T次的資金成長最佳化的通式為
50%*log(1+2f) + 50%*log(1-f)
有沒有發現上面的式子跟銅板A與銅板B的entropy有點類似?
沒有錯，凱利公式可以說是某一種形式的熵(entropy)，大陸作家魯晨光稱之為增值熵。而我們最佳化f的目的，某種程度來說是要讓"增值熵"最小，讓資金成長可以最快速的獲利!
別小看"最快速獲利"這件事，我們在討論的所有最佳化比例，以物理角度來說，都可視為是某一種"速度"，而想要達到的資金量是"距離"的概念。距離/速度 = 時間，時間就是你玩T步的條件下，你該有多少的速度(增值熵)才能讓資金成長多少倍數! 下一篇我們再詳細解說這有趣的概念!
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