[1+f(p(1+b)-1)]^T = (1+0.5f)^T
注意到上面期望值的意思是：如果我可以重複一模一樣的實驗無限次時(毎次實驗玩T回合)，而每次都下注f 比例，則隨著重複實驗次數越多，毎次實驗的資產平均值會越接近(1+0.5f)^T。
在這樣的條件下，當然f=100%是最好的選擇，因為計算出來的期望值最大。上篇文章很多人認為問題是出在 f=100%，如果你有仔細思考過，就知道這絕對不會是問題。
如果我每次實驗的T步過程把把全押，在T步內輸光就停止。如果沒輸光，則這條路徑（一路連贏T次）所帶來的報酬將使整體平均資產(重複實驗的平均)大大提高。即使這個機會很小，但因為實驗可重複無限次，只要遇到一次連贏，那就是會有這樣的"期望值"，這也是期望值的意義。
在繼續講下去之前，基於上篇的激烈討論與認為牧清華數學程度有夠差的指教，我還是認為有必要先用文字敘述的方式講解一下期望值的概念。
這裡所說 "可重複無限次的實驗"，可以想像是當毎次實驗結束後，就乘坐時光機回到當初實驗的時間點與回到相同的環境條件，當然包刮又有原始資金讓你"再重複作一模一樣的實驗"。然後把過去每次時光旅行後的實驗結果加總起來平均，叫做"期望值"。
從直觀意義去解釋正期望值
試想一下當我們遇到正期望值的賭局。何謂正期望值? "平均來說"，每玩一次，1元可以變為x元，且x>1。再強調一次，這裡的"平均來說"，是說實驗可以重複無限次後，加總的平均。既然每玩一次1元可變成x元，x又大於1。在這樣的好康下，當然是押越多越好，押100元就變為100x元，押1000元就變為1000x元。因此，在利潤最多的驅使下，下注金額是多多益善，有多少押多少，如此思考公式推導出來為f=100%也不足為奇了，但記得這樣的敘述是平均來說。(在強調一次，因為是"平均"賺最多，所以是考慮實驗可重複無限多次的情況下)。然而這真的是我們要的最佳化嗎? 記得我們的目的是"賺最多錢"，但上面的結果是"實驗無限多次後，平均起來賺最多錢"。與現實不同的是，我們只有"一次實驗的機會"。
所以這真的是我們要的最佳化嗎? 很明顯答案是"NO"!
可惜的是對於上面這件事，我 們 無 能 為 力!
如果你要根據期望值下注，那下注100%的確是最好的下注方式，但是你要保證你可以重複這個實驗無限多次，然後最後你的損益是這無限多次實驗結果後的平均。可惜實驗無限多次作不到，未來發明了時光機或許有可能!
但也別那麼絕望，對於"只有一次實驗機會賺最多錢"這個目的，我們仍然可以將目標放在：
將T步裡，每一步的 "期望平均複合成長率" 最大化。
意思是說，我們無法重複玩一模一樣的賭局很多次，所以不能拿期望值最佳化當作我們獲利最大化的設定。但如果要玩T步(一次實驗裡賭T次)，我們可讓每一步的 "期望平均成長率" 最大。
"期望平均成長率"的意思是說: 在T步過程中，不管是哪一個路徑到達最後的結果，平均來說(幾何平均)，每一步的成長率最佳化。講明白點，我們不能回到過去的時空(空間)重複時驗，但我們可讓這場賭局的時間長長久久(無限多局數)，使得幾何成長率最大化。這是一種時間換取空間的概念。
人生不能從來，但可讓過程長長久久，細水長流
一樣考慮勝率50%，賠率為2的賭局。如果我今天玩一次實驗就走，不玩了。則玩一次的資產成長率期望值為
50%*(1+2f) + 50%*(1-f) = 1 + 50%f
也就是我們熟悉的期望值(or 算術平均數)。因為只玩一步，這個值同時也是幾何平均報酬。我想沒有人會有爭議，很明顯要"最大化期望值"，f 要選擇100%。畢竟你只有一次機會，贏了就走，輸了也走。有一半的機率輸光，有一半的機率贏錢，且翻兩倍。期望報酬為1.5倍，也就是賺5成。但是你會全押嗎? 不會，除非你賭性堅強，因為大家都知道還有一半的機會會輸，輸光就沒了，即使你只玩一次你也不會想要輸光。
如果你賭兩次，兩次後就不玩走人。分析如下：
Case1. 25%的機率 win, win: 資產成長率為 (1+2f)(1+2f)
Case2. 25%的機率 win, lose: 資產成長率為 (1+2f)(1-f)
Case3. 25%的機率 lose, win: 資產成長率為 (1-f)(1+2f)
Case4. 25%的機率 lose, lose: 資產成長率為 (1-f)(1-f)
注意到，我們希望的是玩兩次後的資產成長率最大；我們要計算的是資產成長率的幾何平均報酬，因此上述每一種情形的資產成長率還要再開二次根號，才叫在這個case底下的幾何成長率。
Case1. 25%的機率 win, win: 資產成長率的幾何平均為 [(1+2f)(1+2f)]^(1/2)
Case2. 25%的機率 win, lose: 資產成長率的幾何平均為 [(1+2f)(1-f)]^(1/2)
Case3. 25%的機率 lose, win: 資產成長率的幾何平均為 [(1-f)(1+2f)]^(1/2)
Case4. 25%的機率 lose, lose: 資產成長率的幾何平均為 [(1-f)(1-f)]^(1/2)
將上述四個值平均後 (相加後除以4)，稱為"期望平均複合成長率" (EACG, Expected Average Compound growth)。在只玩兩次的條件底下，我們真正要最佳化的是這個值(EACG)，而不是單純的最佳化四個Cases的算術平均。
下面左圖是玩一次就走的情形，全押是最好。下面右圖是玩兩次就走的情形，壓50%時EACG最大，有1.125的EACG。這意思是說平均每次下注 f=50%，資產會成長1.125倍，也就是淨賺12.5%。
只玩三次的最佳下注方式為f=37.868%，資產成長率為1.09283；
只玩四次的最佳下注方式為f=33.626%，資產成長率為1.082059。
"期望平均複合成長率(EACG)" 分別如下：
只玩六次的最佳下注方式為f=30.19%，資產成長率為1.073467。
"期望平均複合成長率(EACG)" 分別如下：
根據我們上述只玩1次到只玩6次的實驗數據，有沒有發現所押比例f越來越低，EACG也跟著越來越低。如果再繼續讓T跑下去，你會發現下注比例f會慢慢接近25%，當玩無限步時，那最佳下注比例就是凱利的25%了。如下圖所示，綠色水平線25%是藍色最佳下注比例的漸近線。
這跟人生道理很像，賭局是有限的，人生也是有限的。賭徒追求的是一次利潤最大化。但因為時光不能重來，我們只能當作無限步的賭局去最佳化下注(Kelly)；人生也是有限，人生追求的是穩定中求成長發展，所謂的穩定，是衡量風險承受後的最佳化過程，考量的是長遠下來利益最大化的結果。
賭博人生，如此而以!
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牧清華很喜歡彭明輝教授"困近與抉擇"文章裡的一句話：生命是一種長期而持續的累積過程，絕不會因為單一的事件而毀了一個人的一生，也不會因為單一的事件而救了一個人的一生。
彭教授很厲害，從人生的角度也看出博弈與交易的根本道理：每一次的失敗都是一個過程而以，每一次的成功也只是過程。我們追求的是每次都比上一次更進步，我們最佳化的是每次進步成長最大。也就是人生這輩子的EACG，而不是人生輪迴多次的期望值!
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