先別預測漲跌了，那不是最重要的!

就算給你明天漲跌的機率分佈，你會交易嗎?

上次我們討論Vince's Optimal f 的方法，跟傳統凱利賭徒是否有很明顯的差異? 結論似乎是原來Kelly跟Optimal f 的方法，有很大的機率會賭得差不多。

看到這邊，希望牧清華寫的這些比較"理論性"的文章，還能讓讀者知道我們在討論什麼。(而不是注意力完全被首圖模特兒 Kelly所吸引><!)

但如果您以為Vince 就這樣被Kelly 擊敗，那就大錯特錯了!

記得上次文章我們留下一個問題，那時我們用均勻分配去取樣(sample)，從-30點到30點之間取出100個損益數字。事實上這在實際的交易上不太合理，為什麼咧?

基本上一個再爛的交易策略，損益大部分都會呈現一個類似鐘形分佈的樣子。就是小輸小贏的次數很多，大輸大贏的次數相對少。這樣的特性結構是很正常的，有輸有贏，有幾次大輸也有幾次大贏，才會讓賭徒一直賭下去，自以為是百年難得一見的"賭神"。

今天，我們就來看"在一個給定的機率分佈(鐘形分配)底下，Vince處理 optimal f 的方法"。首先從最一般的常態分配出發。假設損益大約界在賺賠30點左右，勝率約五成。故取平均值為0，標準差為30點的常態分配N(0,30)。

隨機從N(0,30)取樣100個損益數字，且只採用正平均值的數據。計算勝率、賠率後，進而求凱利比例與Optimal f 下注比例(還不熟悉的讀者可參考前面兩篇文章)。下圖為其中一例：

可觀察到，在上述這個例子裡，Optimal f 壓34%，而Kelly只要壓22%，這似乎與上一篇的討論結論有很大差異。是否真是如此? 我們再實驗幾次，並擷取其中12次的圖形如下。橫軸為下注比例，縱軸為獲利。紅點為Optimal f 的下注比例(橫軸)與獲利(縱軸)；藍點為Kelly的下注比例與獲利。

看來，有幾次的結果，紅點明顯與藍點有所差距。於是，我們重複上述實驗10,000次，觀察在此N(0,30)的分配底下，Optimal f 與Kelly是否有明顯的差異?

N(0,30)分布底下取樣10000組，Optimal f 與 Kelly 比例的差異分布

確實，統計結果有49%的機率，Optimal f 壓的比例會大於Kelly壓的比例3%以上；有14.5%的機率，Optimal f 壓的比例小於 Kelly壓的比例3%以上。這樣的結果很明顯與上次用均勻分佈去取樣的不一樣。那到底遇到給定的機率分佈，Vince's optimal f 該怎麼做呢?

Vince如何處理不同分布底下的問題?

讓我們再來回顧當初Vince處理不同損益的手法，關鍵在於把過去損益紀錄的"最大損失"當作分母，"每次的損益"當作分子做為傳統Kelly公式裡 "賠率" 的取代。

如果我們考慮更一般的Case，從某一個給定的機率分佈下去著手。舉例來說，假設有一個離散型的損益分佈如下。

有10%的機會賠5,000；有15%的機會賠3000；有20%的機會賠2000；有25%的機會賺1500；有20%的機會賺5,000；有10%的機會賺8,000。

在上述的機率分佈底下，最大損失為5,000(設為W)，且有10%的機率。這時，我們設定 Optimal f 的Hording Period Return (HPR)為

HPR=

[(1+f(-5000/W))^10%]*[(1+f(-3000/W))^15%]*[(1+f(-2000/W))^20%]*[(1+f(1500/W))^25%]*[(1+f(5000/W1))^20%]*[(1+f(8000/W))^10%]

簡單的解釋上面式子，跟過去不同的現在只有機率分佈：六筆損益(-5000, -3000, -2000, 1500, 8000)，機率分別為(10%, 15%, 20%, 25%, 20%, 10%)，而過去兩篇文章裡，是 "損益" 跟 "損益的次數"，"損益的次數"放在指數位置。所以類似手法，Vince將"損益的機率"放在指數位置。

再來就是決定 f 使得上述 HPR值最大，我們讓 f 從1%跑到100%後得到結果如下：

可知在這例子下，最佳比例為f = 28%，HPR值為1.02261。

然而，在實際交易上，我們當然不知道實際的損益分佈為何。我們只能從過去的幾筆交易的損益，去"推測"可能的損益分佈。所以，我們同時將採用抽樣計算 Optimal f (抽樣)的結果，與從機率分佈計算Optimal f (機率分佈)的結果做比較。

Optimal f (機率分佈) v.s. Optimal f (抽樣)

例如，我們實驗從這分佈底下取樣50個損益數據，決定好凱利下注比例，以及Optimal f (抽樣)的下注比例後，再來這交易比例去跑後面300組交易。我們考慮下面三種下注方式：

1. 凱利 (抽樣)：取樣50組損益數據，計算平均勝率與平均賠率，採用傳統Kelly公式下注後面300筆交易。

2. 最佳化f (機率分佈)：根據給定的機率分佈，採用Vince's Optimal f手法計算在這樣的機率分佈底下，最佳的下注方式，執行後面300筆交易。

3. 最佳化f (抽樣)：取樣50組損益數據，採用Vince's Optimal f方法決定在這50組損益數據底下最佳的下注方式，執行後面300筆交易。

舉例來說，從這分佈底下取50組損益數據如下，在這50筆損益數據底下，傳統凱利為38.34%，Optimal f 為46%，而根據機率分佈計算的Optimal f 只有28%。

再來，我們比較凱利的38.34%，根據取樣損益的Optimal f = 46%以及根據機率分佈的Optimal f = 28%去執行後面300次的交易，獲利曲線如下(其中一組案例)：

下圖擷取幾組的損益圖形，可以發現很多次模擬表現最好的是 Optimal f (機率分佈)，也就是藍色曲線。

當然，只模擬幾次不具有說服力，我們統計次10,000模擬的結果，並觀察三種下注比例表現最好的次數。

在10000次的模擬裡面，有4413次Optimal f(機率分佈) 報酬率最高；有2717次 Optimal (抽樣) 報酬率最高，而凱利(抽樣)報酬率最高的也有 2870次。當然實驗會有所偏差，如果在模擬交易更多次(目前每次模擬為300次交易)，相信Optimal f(機率分佈)的下注方式會拔得頭籌。

但這樣的結果也告訴我們一件事，無論是哪一種下注方式，基本上都已做好相當程度的風險管理，才會偶爾這個勝出，偶爾那個又勝出! 所以還是那句結論，如果你很不熟Vince公式背後的數學，至少把基本的凱利搞懂吧:)