排在資金控管之前：為什麼你該不斷尋找交易市場?

記得前年，我在澳門賭場看到一位中年大叔，一個人分別在兩個輪盤桌下注，看他一副心浮氣躁的樣子，我估計是因為不想等輪盤滾球落下的時間，所以先到另一桌輪盤下注。也就是等A輪盤的時間跑去玩B輪盤，這樣似乎賺錢效率比較快!

大家可能會覺得這樣的行為很荒謬，這應該只是加快賠錢的速度而已。然而，在實際的交易上，我們的確該尋找多個市場去操作。本週我們介紹Vince's Leverage Space Model (槓桿空間 )

從一場賭局出發...

假設有一場賭局，勝率為50%，賠率為2。則期望損益為

2*50% + (-1)*50% = 0.5

因為0.5>0，這是一場有利可圖的賭局。凱利公式告訴我們，該賭局的下注比例為

[p(1+b)-1]/b = [50%(1+2)-1]/2 = 25%

我們把所有可能的下注比例所產生的損益描繪出來。如下圖，橫軸座標為下注比例，縱軸座標為玩40次後的期望損益。(因為勝率50%，可假設贏20次，輸20次)

有在follow牧清華文章的朋友，可能已經非常熟悉上面的結果，在押注25%的時候，達到最大期望獲利約為10倍。但你可能會很驚訝下面的結果!

同時玩兩場賭局: 初窺 Leverage Space Model

假設有兩場賭局一模一樣，分別為A跟B，勝率皆為50%，賠率皆為2。且賭客可以"同時"下注這兩場賭局，則該如何下注?

你可能會想，如果兩場賭局一模一樣，基本上就是一場賭局，那麼就是押Kelly比例25%的資金。如果是兩場都要同時下注，那就是一人一半，各壓12.5%。

如果你再仔細思考，你會發現事情沒有這麼簡單。這個問題，便是Vince提到的 Leverage Space Model了。

因為兩場賭局一模一樣，不失一般性，我們可假設兩場賭局下注比例皆為f。

舉例來說，如果f=20%，你有100元的初始資金，那麼第一次下注，賭局A壓了20元，賭局B也壓了20元。則有可能下面四種情形發生:

Case 1. 賭局A贏，賭局B贏；故資產變為$100 + $20*2 + $20*2 = $180元
Case 2. 賭局A贏，賭局B輸；故資產變為$100 + $20*2 - $20*1 = $120元
Case 3. 賭局A輸，賭局B贏；故資產變為$100 - $20*1 + $20*2 = $120元
Case 4. 賭局A輸，賭局B輸；故資產變為$100 - $20*1 - $20*1 = $60元

綜合來說，假設兩場賭局同時的下注比例為f，

如果是Case 1，那就是原來的資金乘上 (1 + 2f + 2f) = (1 + 4f)；
如果是Case 2，那就是原來的資金乘上 (1 + 2f - f) = (1 + f)；
如果是Case 3，那就是原來的資金乘上 (1 - f + 2f) = (1 + f)；
如果是Case 4，那就是原來的資金乘上 (1 - f - f) = (1 - 2f)；

假設一共玩40次，則平均來說，上面四種Cases每種會出現10次(平均)。這時我們可計算最佳比例f為何?也就是什麼樣的f會使得下列式子A(f)發生最大值。

A(f)=[(1+4f)^10]*[(1+f)^10]*[(1+f)^10]*[(1-2f)^10

有趣的是，上面的最佳化f算出來竟然是23%，而不是我們猜測的25%，如圖所示：

更有趣的是，再玩過40次後，期望獲利竟然高達約90倍，這遠比只玩一場這樣的賭局獲利約10倍，高出太多! 現在讀者能體會為什麼要把資金放在多個市場了嗎？這威力實在太恐怖!

我們再來看如果同時玩三場這樣的賭局。如果是同時玩三場賭局ABC，那會有8種Cases:

Case 1. 賭局A贏，賭局B贏，賭局C贏：原資金乘上 (1+2f+2f+2f)=(1+6f)；
Case 2. 賭局A贏，賭局B輸，賭局C贏：原資金乘上 (1+2f-f+2f)=(1+3f)；
Case 3. 賭局A輸，賭局B贏，賭局C贏：原資金乘上 (1-f+2f+2f)=(1+3f)；
Case 4. 賭局A輸，賭局B輸，賭局C贏：原資金乘上 (1-f-f+2f)=1；
Case 5. 賭局A贏，賭局B贏，賭局C輸：原資金乘上 (1+2f+2f-f)=(1+3f)；
Case 6. 賭局A贏，賭局B輸，賭局C輸：原資金乘上 (1+2f-f-f)=1；
Case 7. 賭局A輸，賭局B贏，賭局C輸：原資金乘上 (1-f+2f-f)=1；
Case 8. 賭局A輸，賭局B輸，賭局C輸：原資金乘上 (1-f-f-f)=(1-3f)；

如圖所示，同時玩三場這樣的賭局，則每場賭局最佳比例為21%，在40次後期望報酬達到622倍!

啥咪? 622倍，有沒有搞錯，不過多一場賭局，從10倍成長到90倍，再成長到622倍。

有沒有發現，當你同時玩越多場賭局，每一場賭局各別的下注比例去會越來越小，從25%到23%，再到21% ，雖然整體部位而言是用了25%、23%*2=46%、21%*3=63%，但風險卻沒有因此降低，反而最後整體可獲得的期望報酬卻會成長變大，而且大的速度還是"飛快成長"!

下圖我們將上面三個結果做個整理，由於同時玩三種賭局賺得太多(622倍)，而原始只玩一場的凱利賭局只賺10倍，故我們在報酬率的地方取Log呈現。

在看了這樣的結果後，相信讀者已能體會尋找多個市場交易的重要性。然而，事情沒有那麼簡單，注意到上述賭局彼此之間是互相獨立的，也就是賭局A會開出怎樣的結果跟賭局B無關，也跟賭局C無關。這在實際的金融市場不是如此，市場與市場之間彼此會有連動性，可能是正相關居多，一起漲也一起跌；也可能是負相關，一個商品漲另一個商品跌，這時就要把
"相關性"這個變量考慮進去。在Kelly公式的延伸上，Vince's Leverage Space Model正是在處理這樣的問題。