凱利賭徒高潮再起? Optimal f 徹底擊敗!?

上篇文章，牧清華介紹了Optimal f的概念與算法。Vince的動機很簡單：傳統凱利賭徒，固定機率固定賠率；而在真實交易上，機率是估計的、賠率也是估計的，且每次損益都不一樣。所以無法使用傳統凱利公式。

這點我想是最多人對凱利產生誤解的一點。有人因此認為凱利沒用；但大部分的人會把變動的機率跟賠率取個平均值，當作傳統凱利所需的機率與賠率。

這篇文章，我們就來做個比較，如果一個交易過程，用平均機率與損益當作凱利的機率與賠率；以及使用Optimal f方法，長期下來報酬相差多少?

傳統凱利 (Kelly) v.s. 最佳化f (Optimal f)

考慮一個策略的九筆損益如下：9,18,7,1,10,-5,-3,-17,-7

在這九筆交易裡，贏五次，輸四次，故勝率為p=5/9

平均賺 (9+18+7+1+10)/5 = 9 點，平均賠 (-5-3-17-7)/4 = 8 點；也就是賠率為 b=9/8

代進傳統凱利公式得每次下資金[p(1+b)-1]/b得到每次該下注16.04%。

然而，若用Vince's Optimal f計算，可得最佳下注比例應該是24% (過程可參考上一篇文章)；當下注24%時，平均每筆交易是1.0102064，也就是獲利1.02064%。

現在問題來了，凱利叫我們每次下注16%，Optimal f 叫我們每次下注24%。長期下來，到底孰好孰壞?

先來比較這九次的交易，如果一個用 16%下，一個用24%下，則凱利16%會得到約8.5%的報酬，而最佳化f會得到約9.6%的報酬，如下圖所示：

兩者差異看似不多，但我們來看長期下來的結果。假設重複過程兩遍，也就是18次，則凱利到約17.72%的報酬；Optimal f得到約20.05%的報酬，如下圖所示：

如果我們再多重複幾回，描繪出到第1回合到第100回合的累計獲利圖(%)，如下：

當第100回合時，總共交易了900次，Optimal f下注24%的方式，已經達到9313.34%，也就是資金成長了93倍多，而凱利下注16%只達到3490.75%，只有不到35倍的報酬。只差一點的下注方式，在900回合後，凱利獲利竟然只有最佳化f的37.5% (3490/9313)。

我們把凱利與最佳化f在每一回合後的獲利差異，整理成下圖所示 ((最佳f獲利 - 凱利獲利)/最佳f獲利)：

很明顯的，隨著交易回數越來越多，Optimal f的獲利越是拉開了傳統凱利賭徒的獲利! 然而，上述只是針對一開始給定的九個損益數字，是否所有的策略損益最佳化後，都會有相同的結果呢? 我們來看下面實驗！

Optimal f 完全擊敗誤解凱利公式!?

為了研究各種可能的損益用在凱利與最佳化f後的差異，我們隨機選取100位整數，範圍界在-30到30之間，平均值為正才做交易，下面為隨機產生12組數字交易後的結果。紅點表示Optimal下注累計的獲利，藍點表示凱利下注累計的獲利。

可以發現，在12張圖裡面，紅點的位置都高於藍點(當然，因為Optimal f的選法本來就是取報酬最高的點)。然而，換個角度想，上述12個隨機實驗，都證明了傳統凱利公式並不一定會是最好的下注方法。換句話說，Optimal f可能測底擊敗傳統凱利公式? 我們再隨機產生更多組數據來驗證這個論點是否正確？！

底下是隨機產生10000組損益數據後，Optimal f與凱利賭徒比較的結果。我們拿Optimal f下注所需的比例減去凱下注所需的比例(扣掉%)，10000次的結果分佈圖如下：

幸運的是，就算用傳統凱利下注方式，所用的下注比例也與最佳化f所用的下注比例相距不遠。從差異分布圖可看出，依然在0附近呈現一個鐘形分配，0代表著凱利所需的比例恰恰等於Optimal f要求的下注比例。我們統計差異如下：

在10000次的隨機實驗裡，有941次凱利比利跟Optimal f一樣，約9.4%；

有967次Optinal f - Kelly =-1 (Optimal f壓的比凱利小1%)，約9.67%

有725次Optinal f - Kelly =1 (Optimal f壓的比凱利大1%)，約7.25%

有972次Optinal f - Kelly =-2 (Optimal f壓的比凱利小2%)，約9.72%

有666次Optinal f - Kelly =2 (Optimal f壓的比凱利大2%)，約6.66%

有864次Optinal f - Kelly =-3 (Optimal f壓的比凱利小3%)，約8.64%

有557次Optinal f - Kelly =3 (Optimal f壓的比凱利大2%)，約5.57%

換句話說，有5692次，56.92%的機率，Optimal f的比例與凱利的比例差距在正負3%以內。

這告訴我們，如果妳不會用Vince's Optimal f，凱利就先將就用一下吧~ 至少有56.92%的機率，效果也不會差太多(誤差3%內)!