凱利法則新解

《圖中銅板為 1971 年鑄 0.5 美元銅板，目前僅在 Las Vegas 賭場流通，但實際在外售價視銅板保存狀況而定，一般約落在 0.7 ~ 1.5 美元之間，所以在小賭注的牌桌上，這個銅板實質影響了賠率；左方銅板為 MGM ( 米高梅 ) 賭場在賭客牌面天生為 21 點時給予，可在賭場內兌換為現金或由賭客保存紀念；下方紙張為璞格成員名片的背面》

也許你聽過很多次凱利法則，但市場上真正能運用的卻少之又少，因為被公布的公式僅適用於簡單賭局。

凱利法則 ( Kelly criterion、Kelly formula )，一個耳熟能詳的賭局、投機最佳資金運用公式 R = [ ( 1 + M ) x P - 1 ] / M，在 1960 年代被時任美國麻省理工學院的教授艾德華索普 ( Edward Throp ) 發揚光大，以 IBM電腦及 Fortran 程式編寫模擬 21 點 ( Black Jack ) 及股票、期貨、權證價格模型，並且成功設立與管理大型避險基金。然而這樣一條簡簡單單的凱利法則在許多書籍或文章中被提及，卻無法被一般眾人所使用，原因來自多數交易人忽略了公式所需具備的前提，以及簡單賭局與實際賭局、投資、投機的不同之處。

首先，交易者往往一眼便把焦點放在公式本身，其中的 P 為賭局勝率、M 為賭局賠率，因此人們開始在交易策略的模型中找尋一個能夠與賭局一樣恆定的勝率及賠率。然而投資與賭局有許多的不同，我們除了需要擁有一套在大樣本下恆定的數值之外，更需要在每個環節將標的買賣結果轉換為賭局機制。首先，若一個賭局的莊家勝率為 51%，表示玩家有 49% 的機率「損失所有金錢」，但市場中並不是每次都是定量損失所有的押注金額，也有許多衍生金融商品會出現保證金超額損失的狀況，例如期貨、選擇權賣方。在賭場內，莊家並不會跟玩家索取除了放在賭桌上以外的任何資產，但是交易所卻這麼做，因此第一個重要的環節就在於勝率與賠率計算。

幾乎所有的量化交易者套用獲利因子 ( Profit Factor ) 或賺賠比做為賠率套入公式，那可能是他們未曾仔細思考這些數值的來源與涵義。以獲利因子來說，對一個勝率 50%、賠率 2.01 的賭局而言，每一輪過後的獲利期望值為賭注 0.005 倍，因此若將此遊戲連續執行 100 次則期望獲利為籌碼的 0.5 倍，其中 50 次可獲得本金 2.01 倍籌碼 ( 含本金 )、另外 50 次損失押注籌碼。也就是若把 21 點的保險 ( Insurance )、投降 ( Surrender )、分牌 ( Split )、加注 ( Double down ) 等第二程序撇除，簡單的賭局規則是建立在 0、1 一翻兩瞪眼的架構上。因此在一個交易系統回測上的賺賠比亦無法作為勝率應用，主因賠錢的次數並非虧損籌碼的 100%。因此我們有一個很好的轉換手法，便是將凱利法則所需要的賠率 M 做下列處理以得全貌：

1) 回測勝率可直接套回凱利法則 P 使用。
2) 回測總虧損為 L、交易次數為 T1，則每次下注籌碼視為 L / T1。
3) 回測總獲利為 W、交易次數為 T2，賠率為 M 則以 W / T2 / ( L / T1 ) 替換。
4) 可得凱利法則 R = { [ 1 + W / T2 / ( L / T1 ) ] x P - 1 } / [ W / T2 / ( L / T1 ) ]。

搞定了上述公式後，交易者一樣需要回頭檢視其他與凱利無關的一般性數值，以支持這個資金運用最佳化公式，第一項便是期望值與樣本數。期望值大於 0 是眾所皆知的必備條件，但是否得到了合理 M、P 後可以直接套用凱利法則於交易，答案又未必是肯定的。若一個不合常理的賭局具有 80% 勝率、賠率 5，任何人都知道他應該辭去工作，每天靠著在賭桌前玩這個遊戲而致富。根據凱利法則，這個條件下的賭局值得玩家每一把都使用 76% 總資金下注，換言之有 20% 的機率便在頭一局便僅剩 24% 資金，直覺告訴我們這絕非一個明智的行為。因此除了凱利公式本身所求得的理論 R 值外，交易者還需考慮若樣本數過小時的離群值問題，最低條件是要能夠通過商品的進入門檻，例如當前台指期單口保證金 92,000 新台幣，交易者就要有一條凌駕在凱利法則之上的簡易公式，得以讓連續多次失敗後資金仍有進入遊戲的條件。