幾周前我寫了"交易跟賭博是否一樣? "，討論重點在交易跟賭博都是機率與賠率的問題。從這觀點看本質是一樣的，所以我們用凱利公式下去研究。然而，用凱利公式還是遇到幾個很大(還是很小?)的問題。
1. 凱利討論的是傳統賭局的最佳化賭法，傳統賭局有"固定的"機率跟賠率，只要期望值是正的，就可套用凱利公式下注，而實際交易卻不是這樣。(沒有固定的機率跟賠率)
2. 賭場裡的賭局是用籌碼下注，籌碼有最小單位，可能是$SGD5元、$USD5元、$MOP10元、$KRW1000元....等(交易也有口數、股價等基本單位)。而凱利卻是比例下注，當凱利下注比例小於籌碼的最小單位，或是下注金額無法用最小單位組成，將發生無法下注的窘境!
第二點只是個小問題，若是下注比例小於籌碼最小單位，通常已經很接近破產了，"快破產之賭客"神仙也難救；另外，若是下注金額無法用最小單位組成，也可用"差不多"的金額下注，與最佳化的凱利比例所賭出來的結果不會差太遠。
真正麻煩的是第一點，我們看下面例子。
假設有一個交易策略，交易10筆後的損益如下: 19、8、-7、10、-11、-5、-3、20、12、-15
根據這個損益紀錄，用凱利該如何去分析調整針對這個策略的資金控管方法? 或許你會直觀的思考：
1. 在這10筆交易裡，有5次獲利，5次虧損。勝率50%。
2. 平均賺 (19+8+10+20+12)/5 = 13.8；平均賠 (-7-11-5-3-15)/5 = -8.2，
我們將 "平均賺/平均賠" 當作賠率為13.8/8.2 = 1.68
所以根據凱利公式，這樣的交易每次該下注比例為 (p為機率、b為賠率)
[p(1+b)-1]/b = [50%(1+1.68)-1]/1.68 = 20.24%
然而，每次都壓20.24%的比例並不是最好的下注方式。以上例而言，Ralph Vince提出更好的下注概念：最佳化 f 。其理念是基於Kelly公式推導的精神。
初窺Vince's 最佳化f (Optimal f)
在論述Optimal f之前，我們還是該複習一下Kelly公式的推導：勝率為p，賠率為b的賭局。假設每次要下注f比例。則下次損益的情形分為下面兩個Cases討論。
如果贏，資金變為原資金乘上 (1 + f*b)
如果輸，資金變為原資金乘上 (1 - f*1)
再經過T次輸贏後，T次裡輸贏比例會呈現p與1-p的機率分佈，此時將每次損益連乘的式子微分取極值後，可得出凱利公式。
Vince很巧妙的採用Kelly的手法，但避開固定機率與賠率的限制。
首先考慮每次交易的"持有期收益率"(Holding Period Return, HPR)。在這10筆交易裡，最大損失為-15。第一次交易的獲利為19，因次Vince設定第一次交易的HPR為
再經過T次輸贏後，T次裡輸贏比例會呈現p與1-p的機率分佈，此時將每次損益連乘的式子微分取極值後，可得出凱利公式。
Vince很巧妙的採用Kelly的手法，但避開固定機率與賠率的限制。
首先考慮每次交易的"持有期收益率"(Holding Period Return, HPR)。在這10筆交易裡，最大損失為-15。第一次交易的獲利為19，因次Vince設定第一次交易的HPR為
HPR1 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-19/-15)
同理，第二次交易的HPR為
HPR2 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-8/-15)
第三次交易的HPR為
HPR3 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-(-7)/-15)
...
...
...
第九次交易的HPR為
HPR9 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-12/-15)
...
第十次交易的HPR為
HPR10 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-(-15)/-15) = 1 - f
計算這十次交易的幾何平均數，也就是將上述十個HPR數值連乘後，再開十次方根得
Geo. Mean = (HPR1*HPR2*...*HPR10)^(1/10)
上述式子我們要決定f取多少，才能使Geo. Mean最大。這樣的手法類似Kelly求取最佳化的方法，但求取過程卻不像Kelly只需微分就好那麼簡單。
一個最簡單的辦法是採用暴力法，也就是將每一種可能的f值都算出來。
我們使用R語言計算，將比例0~100%分成一百份，也就是考慮f=1%、f=2%...、f=99%、f=100%，分別計算f在這些數值底下的HPR連乘積與幾何平均數(Geo. Mean)。
這一百個比例 f 的HPR連乘積為：
HPR連乘積與幾何平均數的圖形如下：
從圖中可發現，當取f = 31%時，預計可獲得1.3248的報酬，幾何平均為1.0285。換句話說，每次交易平均約可獲得2.85%的報酬。
凱利告訴我們下注20.24%，Vince告訴我們最佳下注比例卻是31%，凱利錯了嗎?然道凱利錯了嗎?
我想不是的，凱利的洞機(intuition)絕對是正確的，別忘了Vince也是用了凱利的手法去解決最佳比例的問題。
Vince用曾經發生過的最大虧損當作每次輸贏可能的最大損失(當作分母)，每次的損益當作分子，取代傳統賭局裡的賠率b，並計算其幾何平均數。如此避開凱利固定機率與陪率的限制。
凱利只是用在傳統賭局上，並非投資交易上，卻被許多投資人誤解，以為凱利沒有用。事實上，多半是投資人不會用而已。
這種情況，就像是你不會開法拉利，你會嫌車子爛嗎?
真正買法拉利新車的車主，是要到原廠受訓一段日子才能開車上路的呢! 然怪最近好多超跑撞爛了，可能都是買二手裝闊，沒事先訓練唷?!
延伸閱讀：至少10輛！全台超跑車禍 撞壞上億元
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PS: 截圖模特兒也叫凱利(Kelly Monaco)，牧清華真的很愛Kelly~
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