有一筆投資保證每年賺x%，且每年賺的錢再投入(複利計算)，則多少年你的本金可以翻一倍?
假設是N年可以翻一倍，則N正確的計算應該是滿足 (1+x%)^N=2。
(說明：複利計算，每年變為本金乘上1+x%，共N年後變為2倍)
為了解N，這時你會兩邊取log，變成N*log(1+x%)=log2，所以N = (log2) / log(1+x%)。
然而，上面的式子沒按計算機，我想很少人可以靠著心算計算出來。72法則的神奇之處便在於，我們馬上可用心算計算出N的估計值。而且這估計值誤差還真小。
72法則的使用
簡單的說明72法則怎麼用? 假設有一筆投資每年可賺x%，則大約72/x年資產可以翻一倍。就是這麼簡單。舉例來說，假設年報酬3%，那就是72/3=24年可以翻一倍。如果是年報酬6%，那就是72/6=12年可以翻一倍。
72法則估計出來的值跟實際到底有多接近，我們看下面的統計表。
橫軸分別是x% = 1%, 2%, 3%, ..., 40%。縱軸為資產翻一倍需要的時間(單位: 年)。藍色長條圖為根據72法則計算需要翻倍的時間，橘色長條圖為實際翻倍的時間。
可觀察到橘色長條圖與藍色長條圖的高度幾乎沒有誤差。由此說明用72法則估計確有其準確之處。
身為數學愛好者的牧清華，再次見證數學的偉大神奇之處，果然數學才是王道。於是上網找了一下72法則的證明，發現竟然沒有!! (可能大家都覺得太trivial)
有一個一直使用且方便神奇的公式，我竟然不知道該怎麼證，這對數學家來說是不允許的，於是我試著自己證看看。
七二法則的證明
我想可能大部份的人對證明沒什麼興趣。但沒辦法，牧清華很無聊，非追根究柢不可。我必須承認，就算懂了這證明，對交易一點幫助都沒有。所以沒興趣的讀者可以省略這一段沒關係。
我用到了一個小技巧。ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 +... 當 |x|<1。(對x=0的泰勒展開)
一般來說，我們常用一個小技巧。當x很接近0的時候，把x當作 ln(1+x)的估計。
如果就把ln(1+x)當作x的話，原來要計算的N = (log2) / log(1+x%)可化簡為
N = (log2) / log(1+x%) = (ln2) / (x%) = 100(ln2)/x
100(ln2) 約等於69.3，所以72法則或許應該改成69法則才對。也就是用 69/x當作估計值。
但這真的會比72法則的72/x準嗎? 似乎也沒有唷!
下圖我把用69/x、70/x、71/x、72/x 與實際翻倍需要的年數的誤差全部計算出來。平均而言，神奇的72法則確實有其過人之處。
神奇吧，72法則跟其他數字相比，最不準的是當x=2%的時後，當x>5的時後， 也就是在5% ~ 40%時，72法則表現真是不錯哩！
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這篇對交易沒什麼幫助，純粹是一個愛好數學的人士想要寫點什麼咚咚證明一下。但還是希望大家會喜歡!!
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