本週我們介紹Tharp的第8個偏見(Ch5)：小數法則 (The Law of Small Numbers)
賭一個公正的硬幣，人頭跟數字出現的機率各半，也就是50%。在此之前，已經連續出現10次人頭，你認為下次擲硬幣(第11次)出現的會是人頭還是數字?
有學過國中數學的應該知道，第11次出現人頭跟數字的機率還是為50%，並不會因為前面已經連續出現過10次人頭，第11次出現數字的機會就會大一些 (>50%)。
但很好玩的是，如果讓賭客下第11次的注，大部份人還是會選擇壓數字 (包刮牧清華自己)。即使他們知道第11次出現數字的機率還是只有50%。
這是很有趣的現象，我們稱為賭徒謬誤(Gambler's Fallacy)。
之所以稱為謬誤，是因為有些賭徒認為第11次較有可能出現數字。理由是前面出現的人頭實在太多了，該均衡一下。
理論上，如果真是一枚公正的硬幣，前面出現幾次的人頭或數字，與下一次擲硬幣會出現人頭還是數字無關，也就是其機率是獨立的。我們可以用下面的表示法：
1/2 = Prob.[第一次出現人頭] = Prob.[第二次出現人頭 | 第二次出現人頭]
= ... = Prob.[第n次出現人頭 | 不管前面幾次發生什麼事]
為什麼正常人都會有這種心理反應？因為大家熟悉的人頭數字出現的機率各為50%，意思是
如果擲硬幣10次，理論上人頭要出現5次，數字要出現5次。
如果擲硬幣100次，理論上人頭要出現50次，數字要出現50次。
如果擲硬幣1000次，理論上人頭要出現500次，數字要出現500次。
...
如果擲硬幣n次，理論上人頭要出現n/2次，數字要出現n/2次。
...
如果擲硬幣n次，理論上人頭要出現n/2次，數字要出現n/2次。
注意到上面都是"理論上"，而實際情形是如何呢？
當你擲硬幣10次，實際上人頭出現4次，數字出現6次。
當你擲硬幣100次，實際上人頭出現47次，數字出現53次。
當你擲硬幣1000次，實際上人頭要現505次，數字出現495次。
...
如果擲硬幣n次，實際上人頭出現比例為50%+∆，數字出現比例為50%-∆。
你會發現"實際上"怎麼跟"理論上"都不一樣? 實際上總是與理論上有∆的誤差。
這個誤差，總是如影隨形的存在，我們無法控制，只能去揣測∆的行為。
例如，有一個行為是肯定的。那就是隨著實驗次數越多，人頭跟數字出現的比例越接近50%。
當你擲硬幣10次，可能實際上人頭出現4次，人頭出現比例占了40%，∆=-10%。
當你擲硬幣100次，可能實際上人頭出現47次。人頭出現比例占了47%，∆=-3%。
當你擲硬幣1000次，可能實際上人頭出現505次。人頭出現比例占了50.5%，∆=0.5%。
...
發現什麼事？當實驗次數越多，人頭出現的比例有沒有越接近50%? ∆有沒有越接近0。
當你擲硬幣n次，n趨近於無限大(∞)，則∆會趨近於0。
...
如果擲硬幣n次，實際上人頭出現比例為50%+∆，數字出現比例為50%-∆。
你會發現"實際上"怎麼跟"理論上"都不一樣? 實際上總是與理論上有∆的誤差。
這個誤差，總是如影隨形的存在，我們無法控制，只能去揣測∆的行為。
例如，有一個行為是肯定的。那就是隨著實驗次數越多，人頭跟數字出現的比例越接近50%。
當你擲硬幣10次，可能實際上人頭出現4次，人頭出現比例占了40%，∆=-10%。
當你擲硬幣100次，可能實際上人頭出現47次。人頭出現比例占了47%，∆=-3%。
當你擲硬幣1000次，可能實際上人頭出現505次。人頭出現比例占了50.5%，∆=0.5%。
...
發現什麼事？當實驗次數越多，人頭出現的比例有沒有越接近50%? ∆有沒有越接近0。
當你擲硬幣n次，n趨近於無限大(∞)，則∆會趨近於0。
賭徒謬誤 (Gambler's Fallacy)
這時如果你是"正常人"，你很自然會有一種奇怪的思維。
如果前面已經出現過好幾次人頭，使得人頭出現的次數佔過去比例離50%很遠，你會不會認為下次出現數字的機會大些？
大部份人都說不會(有學過機率)，但心理上都覺得應該要會，理由是
因為下次出現數字，才會使得這個離50%很遠的比例，稍微回來接近50%。
然而，這些都是錯覺！下次擲硬幣，人頭數字出現的機率，還是各為50%。
大部份人都說不會(有學過機率)，但心理上都覺得應該要會，理由是
因為下次出現數字，才會使得這個離50%很遠的比例，稍微回來接近50%。
然而，這些都是錯覺！下次擲硬幣，人頭數字出現的機率，還是各為50%。
Amos Tversky和Daniel Kahneman對賭徒謬誤的結論：小數法則(Law of small numbers)。
大數法則 v.s. 小數法則
做統計預測的人，最喜歡講大數法則。顧名思義大數法則就是次數要很多，要多少？最好是無限多，跟韓信要兵一樣，多多益善。我們平常說機率多少，是用大數法則的角度去說機率這件事。也就是當無限多次試驗後，實際情形(發生比例)會跟機率一樣。或著說，次數越多越，比例越接近機率。
只是大大部份人往往會忽略這件事。
更慘的是，就算次數真的夠多，假設10,000次好了，還是不能決定10,001次到底是出現人頭還是數字，因為機率還是各為50%。
對賭徒來說，他們往往會把過去十次當做夠多，過去百次當做夠多，當發現比例偏離時，就認為再來可能會出現另一個方向的結果。
事實上每次擲硬幣都是一個獨立事件。也就是每次擲硬幣跟前面發生什麼事是無關的。
但是即使無關，大數法則就是會讓整體事件發生的比例，跟理論上的機率吻合。
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大數法則也告訴你，我們預測未來長期的趨勢，可能比預測明天會怎麼走，容易的多。
就像我可以預測擲硬幣一萬次，約有五千次會出現人頭，實際情形與五千不會差太多。
可是我們無法預測擲硬幣兩次，這兩次會出現什麼？很高的機率預測會與實際的完全相反。
若是上面這句話你同意，那做波段單會比做當沖容易賺錢嗎？
這個具有爭議的問題，牧清華也不知道，或著說因人而異。
交易是個人行為，還有太多個人的因素，包括交易風格...等。
變數太多，使得有些人適合作當沖單，有些人適合作波段單。
這麼官方的答案，也許就是標準答案吧!
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