本文摘要：凱利公式推導的下注資金比例往往是介在0%~100%之間，例如壓20%、壓30%、...等。可是如果今天有一場百分百必勝的賭局，難道你不會想借錢投資嗎? 如此看來凱利賭徒與槓桿似乎有矛盾之處？ 凱利與槓桿的矛盾大對決，真的存在嗎？
傳統凱利公式告訴你要用多少比例的自有資金操作？我們推導更一般化的凱利公式，計算"賺最多"的財務槓桿比例。
事實證明，有時候，你就是該借錢投資！
事實證明，有時候，你就是該借錢投資！
借錢無罪，融資有理？
凱利公式(Kelly Formula)告訴我們，一場勝率為p，賠率為b的正期望報酬賭局，你該下注資金比例為[p(1+b)-1]/b
快速複習一下凱利公式，分母b為賠率，代表賭1元贏了可拿回1+b元。分子p(1+b)-1為期望淨利 (意思是說當你賭1元的時候，有p的機率可以拿回1+b元，可是成本花了1元)。
可以證明[p(1+b)-1]/b 始終介在0%與100%之間 (證明放文章結尾)。因此，凱利公式也似乎透露了所有的交易，都建議使用"自有資金"操作，絕對不要借錢投資、融資交易。
市場上很多老師也是這樣叮鈴交待。
牧清華當然也要提醒各位投資朋友，如果沒有深入研究、正確觀念，真的不要借錢投資。
寧可少賺，也不要虧錢，切記，切記！
然而，在本文裡我們要指出，有時後適當的借錢投資、融資交易，反而是合理的。所謂的"合理"是說一定要借錢融資才能讓你利益最大化。
您可能會覺得奇怪，凱利公式不是已經利益最大化了嗎? 難道牧清華自打嘴巴，與凱利公式有所衝突？
當然不是，我們再從凱利公式開始看起。
"更一般化"的凱利公式(General Kelly Formula)
根據凱利公式： [p(1+b)-1]/b，若勝率p為100%，凱利公式說要100%全壓下去。可是實際情況是，如果真的遇到勝率100%的賭局 (也就是市場上很多老師號稱的"必賺")，你甘願只壓全部的資金下去嗎？你會不會想借用槓桿的力量？賭場大的！
肯定會的，反正穩賺的，遇到這種情況，能借多少就賺多少！
上面的例子很矛盾，凱利公式明明是利益最大化的計算，怎麼會有一種資金運用方式(借錢 or 槓桿)會比凱利公式計算出來的比例更好賺呢？
原來問題出在，傳統凱利公式考慮的賭局，一輸就是輸100%的資金。
可是大部份的交易策略，至少至少都會設個停損點，可能是2%、可能是5%、10%，就算在凹單，要賠掉100%也真是夠不容易的，除非死不停損又遇到股票下市。
這樣的情形，很明顯跟傳統凱利公式所假設的 "一旦輸就是輸掉100%的資金"有所不同。
問題就出在這，那要怎麼推導更一般化的凱利公式？(抱歉，這不在本文重點，有興趣讀者請來信推)
獵人大大提供大家很多交易策略，這些策略常常會用下面幾個特性去描述：
1. 勝率 p
2. 平均獲利 b1 (100%)
3. 平均虧損 b2 (100%)
換句話說，傳統凱利賭局考慮的是b2=100%，但賠掉100%並不是常見的case，再爛的交易策略至少也都會設個停損。
於是，我們重新計算更一般化的凱利公式。
假設今天你只有100萬資金，但是你有個好朋友叫做 "Go Timing"， 願意提供你任意的資金借貸。
您還是最多就只壓自有資金100萬嗎？
至少上述勝率100%的例子告訴我們不應該過於保守，只壓自己的資金。
所以這時問題來了，凱利賭徒是否過於保守？100%穩贏的賭局，竟然不敢去借錢來壓？
這裡我們不做公式的推導，我們先簡單的說明凱利公式與更一般化的凱利公式。
傳統凱利公式：
賭局：勝率為p、每次贏可贏b%、每次輸會輸100%。
下注資金比例＝[p(1+b)-1]/b = [p] - [(1-p)/b]
賭局：勝率為p、每次贏可贏b1%、每次輸會輸b2%。
下注資金比例＝[p/b2] - [(1-p)/b1]
如何使用 General Kelly Formula?
有一場賭局(或是交易策略)，勝率40%，每次贏會贏5% 、每次輸會輸2%。也就是賭1元贏了可拿回1.05元、賭1元輸了可拿回0.98元。
則凱利公式計算的最佳比例為 [40%/2%]-[60%/5%]=8
因此，遇到這樣的賭局，當你有1元，請用8元去交易，也就是8倍的槓桿，你每要賭的1塊錢，都再去借7塊錢來玩！
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這篇的論述，還是凱利賭徒獲勝，槓桿使用經過凱利公式的計算，確實有其必要性。
水能載舟亦能覆舟，槓桿使用的好，上天堂；槓桿亂用，住套房。
你還在相信投顧老師可以帶你上天堂嗎？如果他發的簡訊，只是叫你買進哪檔標的，什麼時候買，什麼時後賣，而沒有告訴你要買多少資金，甚至使用槓桿，那牧清華真的不建議你繼續跟著老師操作。
抱歉，這樣說可能得罪很多老師，但事實真是如此！
證明1: 傳統凱利公式的上界： [p(1+b)-1]/b = p - [(1-p)/b] < p ≦ 1
證明2: 一般化凱利公式的推導：(To be continued...? )
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