堅持你鋼鐵般的信念：再論凱利賭徒！

摘要：本文再度探討凱利公式(Kelly Formula)，我們從二元期權出發，進而探討多重事件賭局。在多重事件賭局裡，凱利賭徒的精神在於“堅持你鋼鐵般的信念”！信念對了，利潤就來；信念越對，利潤就越大！

二元期權(Binary Option)

近年來流行一種新的期權商品，叫做二元期權(Binary Option)，既然是二元，想必概念非常簡單。沒錯，所謂二元指的就是發生or不發生。簡單的說：下注一場單一事件的賭局，結果只有兩種：事件發生，賺到固定的獲利金額；事件不發生，損失下注的籌碼。

上一篇介紹凱利賭徒時，我們研究的賭局皆類似二元期權的概念。在本文裡我們先稱此為單一事件賭局：也就是賭的是單一事件會不會發生？例如前篇所提的擲硬幣賭局(圖一左圖)，數字出現為贏，賭的事件只有"數字出現"，如果數字不出現 (也就是人頭出現) ，那就算輸。然而，萬一今天賭徒想賭的是"人頭出現"為贏，那就不適合玩前面所述的賭局。因此，我們轉而考慮多重事件賭局。

多重事件賭局

生活中更常遇到的是多重事件賭局，例如賽馬比賽(n匹馬比賽，賭最後誰是冠軍)、運動彩卷(n個隊伍比賽，賭最後誰是冠軍)、公益彩卷(n組號碼開獎，賭哪個號碼開出)…甚至是總統大選(n個候選人，賭誰當選總統)。在多重事件賭局裡，至少超過一種以上的事件結果會讓你贏錢，只有你將籌碼壓在對的事件上。(不同於前面討論的單一事件賭局，只有數字出現會讓你贏錢。)

圖一左圖為前面所述擲錢幣的單一事件賭局，當然我們也論述了在此賭局裡，凱利賭徒如何計算出最佳的資金下注比例。圖一右圖為擲硬幣的多重事件賭局，賭徒可以選擇把籌碼壓在人頭上，也可以選擇壓在數字上。如果事件結果是數字出現，則壓在人頭上的賭金全部輸光，壓在數字上的賭金翻為2.25倍(2.25=1+1.25)。

這裡必須提醒的一點是在多重事件賭局底下，所有事件的賠率乘積一定要等於1(例如圖一右圖的0.8*1.25=1)。若乘積大於1，此賭局會有套利機會，賭徒可以將全部資金壓下去穩賺不賠！相對的，若乘積小於1，那此賭局對莊家有利，賭客玩越多次，莊家賺越多。

圖一：單一事件賭局與多重事件賭局

介紹完多重事件賭局，厲害的讀者可能已經觀察出，其實多重事件賭局就是多個單一事件賭局的合併而以。我們甚至可用凱利公式分別去計算拆開後的單一事件賭局下注方式，但這裡我們要說明一個出乎意料的結果：當你用凱利公式去下注多重事件賭局時，你的最佳下注方式竟然跟事件的賠率無關。這點很出乎意料之外。畢竟，我們複習一下單一事件賭局的凱利公式為 [p(1+b)-1]/b，而賠率b是下注資金比例的變數之一。在多重事件賭局裡，凱利公式告訴我們最佳的下注方式就是

拿事件發生的機率當作下注資金的比例！

這裡我們不講複雜的數學推導證明，我們直接從圖二與圖三看凱利公式在多重事件賭局上的結果：

圖二：賭局:人頭數字機率皆為50%；賠率分別為0.8與1.25

圖二的賭局為一個多重事件賭局，賭徒可將籌碼壓人頭贏或是數字贏。因為人頭出現的機率為50%，數字出現的機率亦為50%，根據凱利公式，最佳的下注方式就是把資金分成兩等份，各為50%分別壓下去！

您可能會感到很驚訝，明明就是數字的賠率比較好，直觀上應該壓在數字的資金比例要比人頭多？怎麼會各壓50%會是最好的資金比例下注方式呢？

事實不然，壓數字的賠率雖高，但若壓在數字的資金比例多，一旦失敗也將損失更多資金。很神奇吧！我們雖不在這論述這定理的證明，但有興趣的讀者，還是可以私下寄信給牧清華(Email: mn@bituzi.com)。

現在問題來了，不是毎場賭局都確實知道事件發生的機率，至少很多比賽型的賭局就不知道。例如球賽、賽馬...等。沒有確定的機率，這時該怎麼賭？

賭你的信念 (Bidding Your Belief！)

謀權奪利真英雄，牧清華就是喜歡用英雄人物做比喻，我們來看下面應用情境：

情境：自從鋼鐵人3票房開出紅盤後，蜘蛛人實在越看越不爽，準備找鋼鐵人大幹一架以決勝負！當然其他英雄人物：蝙蝠俠、超人哥也來看樂鬧，開了賭盤。雖然鋼鐵人最近真的很夯，但賭盤似乎是蜘蛛人的賠率略勝一籌，為0.8 (註：市場越看好的賠率越低)，也就是若蜘蛛人贏，壓1塊錢可拿回1.8元)，而鋼鐵人雖然氣勢很旺，賠率卻高達1.25。(如圖三所示)

圖三：鋼鐵人(賠率1.25) v.s. 蜘蛛人(賠率0.8)

回到看熱鬧的兩位英雄人物 -- 蝙蝠俠與超人哥。蝙蝠俠認為鋼鐵人贏的機率為70%、蜘蛛人贏的機率為30%；另一方面，因為超人哥跟蜘蛛人是好朋友，超人哥認為蜘蛛人實力應該比鋼鐵人好才對，所以鋼鐵人贏的機率只有40%，而蜘蛛人贏的機率有60%。假設蝙蝠俠與超人哥都各有10元，這時他們該如何下注？

根據凱利公式，蝙蝠俠會拿出7元壓在鋼鐵人身上，且壓3元在蜘蛛人身上；而超人會壓4元在鋼鐵人身上，壓6元在蜘蛛人身上。(如圖四所示)

他們的認知，決定他們的最佳下注方式，與賠率無關。凱利公式告訴您最有利的下注方式，就是堅持你鋼鐵般的信念！

圖四：根據凱例公式，最佳的下注方式就是按照自己認為的機率分佈下注。

注意到上述論點有個前提，你對你自己的認知要有足夠的信心！事實上，沒有人有把握自己認為的機率分佈是絕對正確 (除非是內線)。凱利公式只是在說明，當你對自己的認知有足夠信心時，你該怎麼下注？就是賭你的認知(Bidding Your Belief)。


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看到這裡，相信讀者最後都會有個疑問，誰知道自己的信念到底對不對阿？尤其是摘要的最後一句話 “信念對了，利潤就來；信念越對，利潤就越多！”。這不是廢話嗎？

問題是，當你信念對了，你知道怎麼賭嗎？當你信念不對，你還期望你能獲利嗎？

未來有機會我們介紹，凱利賭徒信念的準與不準決定你獲利的多寡！

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