為何股價漲跌呈現對數常態分配？(理論篇)

股市漲跌"理論上"是無法預測的，但還是可以根據過去一些統計結果，一窺股市可能的波動。如果能從統計結果預知股價波動慣性，那小小的預知或許也能讓你大大的獲利。

本周我們介紹股市波動最基本的特性: 對數常態分配(Log-normal Distribution)。有接觸過財務工程的投資朋友可能都聽過這個名詞，因為...

教科書說，股市的漲跌幅，呈現對數常態分配。

這個觀察是奧斯本(Matthew Maury Osborne，1916~2003)發現的。然而，這個現象並不那麼直觀! 我們介紹如下：

從波動率談起

我們以大盤為例，從下面兩個例子的大盤指數漲跌談起。

問題1: 假設大盤現在9200點，則大盤明天漲100點的機率，跟明天跌100點的機率，"理論上"是否一樣?

問題2: 假設大盤現在8200點，則大盤明天漲100點的機率，是否跟問題1裡，大盤9200點漲100點的機率，"理論上"是否一樣?

第一個問題的答案，我想大部分的朋友都會說一樣。雖然有人認為大跌容易大漲難，但我們先就理論做探討。

然而，在問題2裡，雖然也是漲100點，但8200點漲100點的困難度就跟9200點漲100點的困難度不一樣了。

這就是股價漲跌不是呈現常態分配的原因。

舉例來說，如果大盤現在是10,000點，那漲100點很容易，大約才漲1%；

但如果大盤現在是5,000點，那漲100點相當於漲2%。漲2%相對漲1%來說，困難多了。

由上可知，一個較合理的推測是大盤的漲跌幅呈現常態分配 (較合理但不正確)，而不是漲跌點數。漲跌幅多少跟大盤現在什麼價位無關。而漲跌幅的公式如下 (以日漲跌幅為例):　

今天大盤漲幅 = 今天大盤收盤價(S_t) / 昨天大盤收盤價(S_t-1)

我們若用報酬率的敘述來看，假設日報酬率為r

今天大盤收盤價(S_t) = 昨天大盤收盤價(S_t-1) * (1+r)

若將這段時間(1日)分為 n 期，則上述式子變為

今天大盤收盤價(S_t) = 昨天大盤收盤價(S_t-1) * (1+r/n)^(n)

當分成無限多期時，即 n 趨近於無限大。上述式子變為

今天大盤收盤價(S_t) = 昨天大盤收盤價(S_t-1) * e^r

幸運的是，就是上面的參數r (俗稱報酬率)，呈現常態分配。

而根據上試，r的推導為

r = log(S_t/S_t-1)

亦即在固定一段期間內(此例為1日)，大盤的報酬率(return)在取對數(Log)後，呈現常態分配 (Normal Distribution)。而沒取log前，也就是報酬率 (=S_t/S_t-1)即為對數常態分配 (Log-normal Distribution)。