期貨報酬率 v.s. 對數常態分配? (R實務篇)

上圖是臺股過去25年的月K，可以看到歷史高點12682，最近臺股持續創新高，是否這波有機會突破萬點大關? 讓我們拭目以待，看下去就知道 (意思是說偶也不知道!)

牧清華只對統計結果有興趣，我們繼續接著上週的討論，為何股價漲跌呈現對數常態分配?(理論篇)。我們拿台灣期貨指數的 "分鐘資料" 實作回測，日期為2001/01/01到2014/03/21，資料格式截圖如下：

從2001/02/01到2014/03/27的分資料，如上文字檔(副檔名txt)，有65MB，一個文字檔有65MB，這樣的資料量平常不容易碰到。(不過嚴格來說這還不算是Big Data)

我們用這樣的資料計算每日漲跌幅統計。

首先，由於是分鐘資料，我們必須先整理出每天的收盤價 (即Close)，如此才能計算每日的漲跌幅。

將每日收盤價除上前一日收盤價取Log函數，並將之統計起來用長條圖表示，得下列圖形。

在這段期間內，一共有3251個交易日。橫軸代表對數報酬率(Log-Return)，0相當於當日沒漲沒跌 (0=log(C_t/C_t-1)=log(1)=0 )。由上圖知這3251個交易日大約有 25個交易日是沒有漲跌的。

這3251個交易日裡，平均值(mean)為0.0001790491，也就是平均漲跌幅為0.0124%，幾乎是沒有漲跌。標準差(sd)為0.01609702。如果將常態分配裡的平均值(mu, mean)用0.0001790491取代，標準差(sigma, SD)用0.01609702取代，即為圖裡的紅色虛線。

理論上，紅色曲線應該要與藍色長條圖一樣，但很明顯看出實際對數報酬的分配比常態分配來的"消瘦"。

而在尾巴的兩端 (-0.05左邊與0.05右邊)，實際對數報酬比常態分配的兩端"肥胖"許多，換算成實際報酬率，大約是單日漲跌幅超過3%的機率，比理論值高出許多。這就是"肥尾效應"，或稱"胖尾效應"。

試想想這十幾年來，有多少次單日漲跌幅超過3%的，可能真的比理論上大的許多唷!

如果我們將長條圖的區間放大，以0.01的長度為每一個長條圖的底寬，如下圖所示。

則介在-0.01~0.01之間約有2000筆。換句話說，在這13年裡，期貨每天漲跌報酬率介在2^-0.01 ~ 2^0.01 (跌0.7% ~ 漲0.7%)的，約有2000多個交易日，大約佔了2000/3251，約為61.5%。

這意味著，這13年的交易日子，有61%的時間單日漲跌幅都是介在-0.7%~0.7%之間。這樣的統計結果，配合mean幾乎是0，反映了股市大部份時間都是在盤整。

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還有很多Data分析的結果，例如...

這13年的交易日裡，若是收紅，則單日平均漲幅多少? 若是收黑，則單日平均跌幅多少?

各種各種的問題，只要有Data，我們都可做各種分析。未來我們陸續再做介紹!

以上資料是用R語言回測，上述結果程式碼如下..