賭博技巧能否用在交易? 最偉大的對沖基金經理人-- 索普

賭博技巧能否用在交易？先說結論，千真萬確絕對可以! 事實上沒有這些博弈知識，也很難成為偉大的對沖基金經理人。

本周牧清華分享一段近期讀過最精彩的故事 --- 擊敗莊家，主要在介紹史上最偉大的對沖基金經理人-- 索普 (Thorp)。以下內容摘錄與整理自華爾街的物理學。(部分牧清華做解釋修改)

華爾街的物理學 -- 第四章擊敗莊家

轉輪盤的賭桌坐著一位頂著平頭、看起來還未滿三十歲的瘦弱男子。他的眼睛直視前方，厚重黑框眼鏡的臉孔不帶有一絲情緒；身旁擠滿興高采烈下注的賭客，對他來說彷彿不存在一樣。雖然不清楚他在想什麼，不過看得出這位男士專心一志、心無旁鶩，隨著時間一分一秒流逝，其他賭客不禁好奇，他是不是忘了要下注？

就在莊家要喊『下好離手』的關頭，他終於把籌碼押在看似隨機的幾個數字上：

第一輪是黑29、紅25、黑10跟紅27，下一輪是黑15、紅34、黑22和紅5。身旁的人都覺得他瘋了。

無論如何，這個畫面看起來就是十分詭異，特別是 --- 他還贏了不少錢！

這位男士的大名是索普 (Edward Thorp, 1932-)，史上操盤最成功的對沖基金經理人之一。不過在1961年6月的時候，他還只是才從研究所畢業沒多久的小毛頭，剛獲聘為新墨西哥州立大學數學系的助理教授，專長是量子力學。

為什麼索普覺的輪盤有利可圖？

時間回到1955年春天，索普即將取得物理碩士學位，他和一群朋友在學校宿舍的餐廳，熱烈討論利用輪盤賭博來發財的可能。

可是，索普多數朋友並不看好利用轉輪盤迅速致富的可能。理由是：

或許輪盤的設計有問題，會讓某些數字開出的頻率高過其他數字，但是拉斯維加斯大型賭場裡的輪盤，一定會精準到讓你找不出可以用來賺錢的瑕疵，因此開出的數字會很接近隨機產生的結果。

既然沒有看穿規律性的秘技，想要賺錢可就沒那麼容易了。索普並不反對這段論述的前題，但是他認為朋友們的結論有問題。理由如下：

再怎麼說，物理學家就是最擅長預測轉輪盤結果的一群人。如果賭場輪盤真的製作的毫無瑕疵，用這樣或那樣的速度開始在輪盤上轉動，那麼光是憑高中物理，不就已經足夠預測滾珠最後大概會停在哪一格了嗎？

要預測賺輪盤的結果，甚至不必用到量子物理或是太空科學! 事實上，輪盤製做的越完美，反而越有幫助。

然而，索普在建製完輪盤的數學模型後，需要一系列的實驗做驗證，在當時大型賭場使用的專業輪盤要價1,000美元，等於索普當時10個月的生活費。對一位缺錢的研究生而言，這一是筆不可能進行的投資。

但危機就是轉機，索普轉向求助於當時學術聲望如日中天的夏農(Shannon)。而索普的研究，也引起了夏農的高度興趣。

夏農開創當時的新領域:資訊理論 (Information Theory)

所謂資訊，表示原本你對於某些事物不太確定的感覺會因此變得確信；能夠取得資訊，就表示你對這個世界的瞭解又多了些。

把訊息中隱含的機率，跟資訊互相聯結，就是量化資訊的關鍵步驟。換句話說，夏農藉由資訊與機率之間的關聯性，發明了用數字表示訊息中資訊含量的做法。這可是建立資訊數學理論最重要的一步。

發表資訊理論讓夏農瞬間爆紅，至少在電子工程、數學跟物理學的世界裡，達到無人不曉的地位。

索普為了見夏農一面，除了輪盤，也研究當時最紅的博弈遊戲 -- 21點。那時為1953年，有一群軍方研究人員，也在進行類似的研究。他們利用軍方電腦算出各種牌型可能的機率，整合出他們認為"最佳"的策略。並把研究成果發表在《美國統計學會期刊》上。

然而，"最佳"並不等於"贏錢"。軍方認為的"最佳"策略，平均1,000美元一天玩下來，可望保有994美元，竟然還輸6元。

索普看出美軍研究的問題所在：他們把每一回合的賭局，都看成獨立事件。也就是假設毎一回合都用一副新的撲克牌進行賭局，但事實不是如此。對賭場莊家來說，只要手上的撲克牌還夠用，就會在下一回合開始之前，直接把剩下的牌重新洗過，緊接著玩下去。

索普認為，只要完成算牌的工作，玩21點擊敗莊家的機率就會比美軍算出來的還要高，甚至變成正期望報酬的賭局。索普利用當時一款大量生產的電子計算機IBM704，算出只要用簡單的算牌技巧改良美軍研究出的最佳策略後，玩家真的會有贏錢的可能。

這樣的研究成果，讓夏農在看了索普關於21點的論文後，當下就認定索普確實是一號人物。他提供索普一些文章編排上的建議，並換成一個比較低調的標題，把《黑傑克的制勝策略》
換成《21點的有利策略》 (A Favorable Strategy for Twenty-One)，然後就署名向《美國國家科學院研究彙刊》 (Proceedings of the National Academy of Science)推薦索普這篇論文。

這個學術期刊，只有美國國家科學院的院士，才有資格投稿或推薦。

博弈專家也是有失利的時候，但靠著數學還是會再起！

因為這一篇論文，索普在21點一戰成名，同時也出版了在博弈界很有名的擊敗莊家(Beat the Dealer)一書。可以靠教人算牌的這本書為索普帶來大量的版稅，於是他決定進入全世界最大的賭場 -- 衍生性金融商品市場。在1962年，他投資的標的是白銀期貨。

索普開始投資後沒多久後，白銀價格忽然劇烈下跌，讓索普現損6000美元。這是個災難性的結果，這個金額已經超過1962年助理教授年薪的一半。

這讓索普開始嚴肅看待金融市場。再怎麼說，索普已經是一位世界知名的博弈數學家了，而且股市相較於賭場或是賽馬場，也沒多大差別：一樣要根據對未來狀況的部份資訊，決定投資標的，賭對了就能獲得金錢報酬，甚至可以把股價看成"莊家"公告的賭局勝算。

索普心裡想：只要能夠掌握部份專業相關資訊，進一步比較市場現有走勢與未來真正走勢之間的差異，就可以算出獲利，從中謀利，一如玩21點一樣。

把認股權證看成一種賭博

二十世紀中葉時，股票選擇權這項演生性金融商品，在美國還不普及，認購權證因此成為最類似選擇權交易的投資標的。

當時大部份的專家，把認股權證當做一種樂透彩卷：賣得很便宜，通常賺不了錢；不過如果該公司股價上漲了，而且湊巧超過認股權證設定的履約價格時，你就就可以大賺一筆。

可是，索普把認股權證看成一種賭博，賭的是該公司股價在一段時間內的表現。認股權證的定價，反映出市場對投資人賭贏機率的普遍看法；而投資人能否在認股權證變值錢時獲得淨利，取決於一開始要花多少錢買入認股權證，那就代表認股權證反映的也是一種勝算的問題。

索普憑著研讀過《股票價格的隨機性》論文集，以及本身對賭局的計算知識，很快的推導出一條用來判斷認股權證到底值多少錢的方程式。

有趣的是，這些在當時一向被視為"很便宜"的認股權證，用索普的方程式計算，竟然還是"太貴了"。

如果索普這條方程式稱不上前無古人，也算的上是價值連城了。此外，索普還有一張王牌。根據過去五年出入賭場的經驗，索普知道算出認股權證『真正的價格』。

那表示索普在數理模型中，串聯股價跟認股權證價格的方式，可以讓他截取一部份的市場資訊。而這資訊正是讓他可以占上風的原因，不是直接來自於股票市場，而是來自於相對應的認股權證市場。這一部份的資訊，也是索普可以套進凱利公式、追求長期最大獲利的資訊。

而凱利公式，正是夏農當時建議索普可以採套用在其21點策略資金控管的方法。索普對金融計算的研究成果，很快吸引到商業大亨找上門投資。

索普的巧思：風險對沖

透過對認股權證的研究，讓索普可以把認股權證跟股票的價格掛勾在一起。除非股價的變動太過劇烈，否則只要找到認股權證與股票的適當組合，就可以確保獲利。這個策略稱為風險對沖(delta hedging)，可以廣泛適用在其他可轉換的證卷。

風險對沖的策略，讓索普從此每年穩定獲利達20%以上，長達四十五年之久，至今這項紀錄能在持續中 (2008年確實是索普投資表現最糟糕的一年，那年的投資報酬率只有18%)。

擊敗市場 (Beat the Market)

風險對沖的操作方式，索普和另一位加州大學爾灣分校同事，寫成擊敗市場 (Beat the Market: A Scientific Stock Market System)一書。

可惜的是，這本偉大的書籍在當時並沒有引起華爾街多大的迴響，看過的交易員要不是根本沒看懂，要不就是沒看出其中的奧妙。

但有一位證卷經紀商叫利根(Jay Regan)，看出索普天才的地方，立即連絡上索普，並提出兩人合夥共組『對沖基金』的建議。

索普的基金公司就此誕生了，取名為可轉換對充合夥公司 (Convertible Hadge Associates)。

這家公司一開始就加入的投資人，當中就有好幾位赫赫有名的大人物。其中一位最早加入的投資人，是加州大學爾灣分校研究學院的院長傑拉德(Ralph Gerard)。那時他剛繼承一大筆遺產，想要替這筆閒錢找到新的投資標的。而索普的新公司看來是個可以考慮的對象。

不過在投入資金之前，傑拉德希望索普先去拜會自己財產的老管家、一位傑拉德信得過的朋友，請他先仔細審核索普的操作方式是否得宜。

索普同意這項安排，挑了個下午，跟太太兩人驅車沿著太平洋海岸公路，一路開了好幾公里，來到財產老管家位於海灘的住處。他們打算邊玩橋牌邊談天說地，好讓老管家能夠清楚認識索普是怎麼樣的一號人物。

閒談中，索普知道這位老管家打算告別資產管理的工作，去挑戰新的事業：重建一家歷史悠久的紡織公司。這位老管家用協助他人管理資產的方式，賺進人生第一桶金，現在該是用他自己的錢開創一番事業的時候了。

索普這天下午的大多數時間，都在和這位老管家探討機率論的話題。對各種博奕遊戲跟相關機率向來很感興趣的索普，很快就跟老管家成為莫逆之交。索普在開車回新港攤的路上，告訴太太，他預期這位老管家總有一天會成為世界上最富有的人。這個預言在2008實現了！

喔，對了，這位老管家的名字叫做巴菲特。

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索普根據當時的新興領域 -- 資訊理論 (Information Theory)，輔以自己在賭場累積的經驗，創造了現代的對沖基金。資訊理論也在1960年代的拉斯維加斯一戰成名。索普也因此替我們打通了任督二脈，讓我們終於能夠把市場價格的統計分析，實際轉換成在華爾街大富大貴的方法。

希望這個故事，大家會喜歡。下周牧清華來解釋為何這麼喜愛這段歷史故事。