接續上篇我們介紹過何謂有利賭局？具有正期望報酬的賭局我們稱為有利賭局。遇到有利賭局時，就是值得進場的時間點。現在問題來了，進場後要如何下注？
舉例來說：擲一枚錢幣，人頭與數字出現的機率各為50%，人頭出現所壓賭金全部輸光，故賠率為-1；數字出現所壓賭金翻為2.5倍(i.e.淨賺1.5倍)，故賠率為1.5。我們將此賭局用圖1去呈現。
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| 圖1: 有利賭局 (獲利期望值為0.25) |
簡單的計算可知此賭局的獲利期望值為0.25，意思就是平均每賭1元，可以淨賺0.25元，25%的報酬率，可說是非常的好。然而，假設今天你有1000塊錢，可以玩這個有利賭局無限多次，你該如何下注？
你是要每一把都把手上的現金全壓呢(100%)？還是每一把都壓資金的一半(50%)？或是更保守一點，每一把只壓資金的10%？
重點來了！到底在有利賭局下，每一步要壓多少比例的資金，才可讓資產成長最快？凱利公式提供了解答。
我們假設p為獲利事件發生(即數字出現)的機率，b為獲利事件發生的賠率，以圖1的例子來說，p是50%(數字出現的機率)，b為1.5(數字出現的賠率)。凱利公式告訴我們，押注資金的最佳比例為
舉例來說：今天有三號人物：小賭徒、凱利賭徒、大賭徒。三個都有1000元現金，可玩此賭局100次。小賭徒比較保守，每次都壓手上現金的5%，凱利賭徒根據凱利公式計算，每次都壓手上現金的16.66%。而大賭徒最勇敢，每次都壓手上現金的一半(50%)。則玩100次後，我們可以合理預期，凱利賭徒的資產會最多，勝於小賭徒，而大賭徒可能玩不到一百次就接近破產，救不回來了。當然，我們可以實際跑Excel去模擬這樣的賭局，圖2為其中一次模擬的曲線圖。
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| 圖2：三類賭徒玩圖1賭局，模擬100次後的結果。 |
我們在回到凱利公式，觀察凱利公式的分子，其代表的意義為每一塊錢的"期望淨利" (說明：有p的機率會贏，贏的話可拿回1+b元，再扣掉成本1元，故期望淨利為 p(1+b)-1)。
當p為100%時，凱利公式的值亦為100%，也就是手上有多少現金就壓多少現金。這很自然，若您遇到一場百分百必勝的賭局，當然是把手上所有的錢全壓下去，甚至不惜借錢壓 。(ps: 雖不鼓勵借錢，但這裡的前提是"百分百必勝")
相反的，當凱利公式的分子等於0，或是小於0時，其建議我們不要壓下任何資金，這是場不值得玩的賭局。聰明的讀者這時可能會有所頓悟，凱利公式分子所代表的意義，期望淨利為正(>0)，正是有利賭局的充分條件。
這裡我們做個小結。另外關於凱利公式的原始論文，我們可追溯到1956年所發表的報告(參考文獻)。
1. 小賭徒壓的資金比例小於凱利公式所建議，因為是有利賭局，所以還是會賺錢，只是賺得不夠快，慢慢的賺。
2. 凱利賭徒根據凱利公式計算，用最適當的資金比例下注，資產成長最快。
3. 大賭徒壓的資金比例大於凱利公式所建議，即使是有利賭局，長期玩下去，破產輸光是遲早的事。
選擇權價差與凱利賭徒
凱利公式如何用在選擇權價差上呢？ 我們看下面這張多頭價差的損益圖，當大盤結算在7950點以下，最多就賠1750元；當大盤結算在8000點以上，最多就淨賺750元。而介在7950~8000點之間，我們暫且視為灰色地帶，平均賠500元。若不論中間的灰色地帶，左邊藍色的賠錢跟右邊綠色的賺錢，是不是跟圖1右邊的賠率圖很像呢？(若壓1元賭注，人頭出現最多賠1元；數字出現最多淨賺1.5元)。
因此，當您對自己認為的機率分佈很有信心時，你該怎麼下注？建議可多想想凱利公式帶給您的啟示。 |
| 圖3：選擇權多頭價差損益圖(7950以下賠1750元；8000以上淨賺750元) |
注意到，與傳統賭局不同之處是在事件發生的機率分佈。一般傳統賭局對於可能會發生的事件，是"確定"的機率分佈。然而大盤結算在哪個位置，是沒有人敢保證或是宣稱其所認定的機率分佈是正確的。每個人都有自己主觀認為的機率分佈。以下列圖4為例：
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| 圖4：個人認知上的選擇權多頭價差的機率分佈 |
圖4除了7950~8000點的灰色地帶以外，是不是跟圖1的左半邊機率圖很像？(圖1的人頭出現相當於圖4的結算在7950以下，機率為30%；圖1的數字出現機率相當於圖4結算在8000點以上，機率為60%)
反過來，當您對你自己認為的機率分佈很沒信心時，你該怎麼下注？建議您，先休息吧！股票市場天天開，天天都有賺大錢機會，別跟自己的荷包過不去。
凱利公式是我最喜歡的數學公式之一。對我來說，這公式非常有意義、且具有故事性、實用性。關於凱利公式的背景、由來、應用，我們有機會後續介紹！
Kelly, J. L., Jr. (1956), "A New Interpretation of Information Rate", Bell System Technical Journal 35: 917–926
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透過凱利公式的檢驗 (Kelly Criterion)，大部份的人會發現過去所壓的資金可能都過於龐大，這就是大部份賭徒總是輸光的主要原因： 1. 玩的不是有利賭局；2. 壓的過大！
只要有心，人人都可以是賭神！好好的研究凱利公式吧~
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